In [90]:
# 任意选一个你喜欢的整数,这能帮你得到稳定的结果
seed = 10

欢迎来到线性回归项目

若项目中的题目有困难没完成也没关系,我们鼓励你带着问题提交项目,评审人会给予你诸多帮助。

所有选做题都可以不做,不影响项目通过。如果你做了,那么项目评审会帮你批改,也会因为选做部分做错而判定为不通过。

其中非代码题可以提交手写后扫描的 pdf 文件,或使用 Latex 在文档中直接回答。

1 矩阵运算

1.1 创建一个 4*4 的单位矩阵

In [91]:
# 这个项目设计来帮你熟悉 python list 和线性代数
# 你不能调用任何NumPy以及相关的科学计算库来完成作业


# 本项目要求矩阵统一使用二维列表表示,如下:
A = [[1,2,3], 
     [2,3,3], 
     [1,2,5]]

B = [[1,2,3,5], 
     [2,3,3,5], 
     [1,2,5,1]]

# 向量也用二维列表表示
C = [[1],
     [2],
     [3]]

#TODO 创建一个 4*4 单位矩阵
I = [[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,1]]

1.2 返回矩阵的行数和列数

In [92]:
# TODO 返回矩阵的行数和列数
def shape(M):
    row =len(M)
    column =len(M[0])
    return row,column
In [93]:
# 运行以下代码测试你的 shape 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_shape
.
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.198s

OK

1.3 每个元素四舍五入到特定小数数位

In [94]:
# TODO 每个元素四舍五入到特定小数数位
# 直接修改参数矩阵,无返回值
def matxRound(M, decPts=4):
    for i in range(len(M)):
        for k in range(len(M[i])):
            M[i][k] = round(M[i][k],decPts)
    pass
In [95]:
# 运行以下代码测试你的 matxRound 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_matxRound
.
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.210s

OK

1.4 计算矩阵的转置

In [96]:
# TODO 计算矩阵的转置
def transpose(M):
    #定义:zip([seql, …]) *号操作符可以将元组tuple解压成列表list,zip()函数用于将可迭代的对象作为参数,
    #将对象中对应的元素打包成一个个元组tuple,最后返回这些元组组成的列表(引用)
    #list()方法用于将元组转成列表。
    result_list=[list(col) for col in zip(*M)]
    return result_list
In [97]:
# 运行以下代码测试你的 transpose 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_transpose
.
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.006s

OK

1.5 计算矩阵乘法 AB

In [98]:
# TODO 计算矩阵乘法 AB,如果无法相乘则raise ValueError
def matxMultiply(A, B):
    if len(A[0]) != len(B) :
        raise ValueError
    else:
        result = [[0] * len(B[0]) for i in range(len(A))] #提供一个A、B相乘后的到矩阵一样大小初始化每个值都为0矩阵
        for i in range(len(A)):
            for j in range(len(B[0])):
                  for k in range(len(B)):
                        result[i][j] += A[i][k] * B[k][j]
    return result
In [99]:
# 运行以下代码测试你的 matxMultiply 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_matxMultiply
.
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.138s

OK

2 Gaussign Jordan 消元法

2.1 构造增广矩阵

$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ a_{31} & a_{22} & ... & a_{3n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\\ \end{bmatrix} , b = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ ... \\ b_{n} \\ \end{bmatrix}$

返回 $ Ab = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b_{1}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & b_{2}\\ a_{31} & a_{22} & ... & a_{3n} & b_{3}\\ ... & ... & ... & ...& ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} & b_{n} \end{bmatrix}$

In [100]:
# TODO 构造增广矩阵,假设A,b行数相同
def augmentMatrix(A, b):
    result_list =[i + k for i,k in zip(A,b)]
    return result_list
In [101]:
# 运行以下代码测试你的 augmentMatrix 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_augmentMatrix
.
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.004s

OK

2.2 初等行变换

  • 交换两行
  • 把某行乘以一个非零常数
  • 把某行加上另一行的若干倍:
In [102]:
# TODO r1 <---> r2
# 直接修改参数矩阵,无返回值
def swapRows(M, r1, r2):
    temp = M[r1]
    M[r1] = M[r2]
    M[r2] = temp
    pass
In [103]:
# 运行以下代码测试你的 swapRows 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_swapRows
.
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.001s

OK
In [104]:
# TODO r1 <--- r1 * scale
# scale为0是非法输入,要求 raise ValueError
# 直接修改参数矩阵,无返回值
def scaleRow(M, r, scale):
    if scale==0:
        raise ValueError('raise ValueError')
    else :
        list =[]
        for i in M[r]:
            list.append(i*scale)
        M[r] = list
    pass
In [105]:
# 运行以下代码测试你的 scaleRow 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_scaleRow
.
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.001s

OK
In [106]:
# TODO r1 <--- r1 + r2*scale
# 直接修改参数矩阵,无返回值
def addScaledRow(M, r1, r2, scale):
    
    M[r1] = [x + y * scale for x,y in zip(M[r1],M[r2])]
    pass
In [107]:
# 运行以下代码测试你的 addScaledRow 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_addScaledRow
.
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.002s

OK

2.3 Gaussian Jordan 消元法求解 Ax = b

2.3.1 算法

步骤1 检查A,b是否行数相同

步骤2 构造增广矩阵Ab

步骤3 逐列转换Ab为化简行阶梯形矩阵 中文维基链接

对于Ab的每一列(最后一列除外)
    当前列为列c
    寻找列c中 对角线以及对角线以下所有元素(行 c~N)的绝对值的最大值
    如果绝对值最大值为0
        那么A为奇异矩阵,返回None (你可以在选做问题2.4中证明为什么这里A一定是奇异矩阵)
    否则
        使用第一个行变换,将绝对值最大值所在行交换到对角线元素所在行(行c) 
        使用第二个行变换,将列c的对角线元素缩放为1
        多次使用第三个行变换,将列c的其他元素消为0

步骤4 返回Ab的最后一列

注: 我们并没有按照常规方法先把矩阵转化为行阶梯形矩阵,再转换为化简行阶梯形矩阵,而是一步到位。如果你熟悉常规方法的话,可以思考一下两者的等价性。

2.3.2 算法推演

为了充分了解Gaussian Jordan消元法的计算流程,请根据Gaussian Jordan消元法,分别手动推演矩阵A为可逆矩阵,矩阵A为奇异矩阵两种情况。

推演示例

$Ab = \begin{bmatrix} -7 & 5 & -1 & 1\\ 1 & -3 & -8 & 1\\ -10 & -2 & 9 & 1\end{bmatrix}$

$ --> $ $\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{5} & -\frac{9}{10} & -\frac{1}{10}\\ 0 & -\frac{16}{5} & -\frac{71}{10} & \frac{11}{10}\\ 0 & \frac{32}{5} & -\frac{73}{10} & \frac{3}{10}\end{bmatrix}$

$ --> $ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -\frac{43}{64} & -\frac{7}{64}\\ 0 & 1 & -\frac{73}{64} & \frac{3}{64}\\ 0 & 0 & -\frac{43}{4} & \frac{5}{4}\end{bmatrix}$

$ --> $ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{3}{16}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{59}{688}\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{5}{43}\end{bmatrix}$

推演有以下要求:

  1. 展示每一列的消元结果, 比如3*3的矩阵, 需要写三步
  2. 用分数来表示
  3. 分数不能再约分
  4. 我们已经给出了latex的语法,你只要把零改成你要的数字(或分数)即可
  5. 检查你的答案, 可以用这个, 或者后面通过单元测试后的gj_Solve

你可以用python的 fractions 模块辅助你的约分

以下开始你的尝试吧!

In [108]:
# 不要修改这里!
from helper import *
A = generateMatrix(3,seed,singular=False)
b = np.ones(shape=(3,1),dtype=int) # it doesn't matter
Ab = augmentMatrix(A.tolist(),b.tolist()) # 请确保你的增广矩阵已经写好了
printInMatrixFormat(Ab,padding=3,truncating=0)
 -1, -6,  5 ||  1 
-10,  7,  6 ||  1 
  7, -2, -1 ||  1 

请按照算法的步骤3,逐步推演可逆矩阵的变换。

在下面列出每一次循环体执行之后的增广矩阵。

要求:

  1. 做分数运算
  2. 使用\frac{n}{m}来渲染分数,如下:
    • $\frac{n}{m}$
    • $-\frac{a}{b}$

$ Ab = \begin{bmatrix} -1 & -6 & 5 & 1 \\ -10 & 7 & 6 & 1 \\ 7 & -2 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

$ --> \begin{bmatrix} 1 & 6 & -5 & -1 \\ 0 & 1 & -44/67 & -9/67 \\ 0 & 44/7 & -34/7 & -8/7 \end{bmatrix}$

$ --> \begin{bmatrix} 1 & 0 & -71/67 & -13/67 \\ 0 & 1 & -44/67 & -9/67 \\ 0 & 0 & 171/1474 & 463/469 \end{bmatrix}$

$ --> \begin{bmatrix} 1 & 0 & -71/67 & -13/67 \\ 0 & 1 & 0 & 3260809/597037 \\ 0 & 0 & 1 & 75932/8911 \end{bmatrix}$

$ --> \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5275629/597037 \\ 0 & 1 & 0 & 3260809/597037 \\ 0 & 0 & 1 & 75932/8911 \end{bmatrix}$

$...$

In [109]:
# 不要修改这里!
A = generateMatrix(3,seed,singular=True)
b = np.ones(shape=(3,1),dtype=int)
Ab = augmentMatrix(A.tolist(),b.tolist()) # 请确保你的增广矩阵已经写好了
printInMatrixFormat(Ab,padding=3,truncating=0)
  0,-10,  9 ||  1 
 -8,  8, -6 ||  1 
  8, -8,  6 ||  1 

请按照算法的步骤3,逐步推演奇异矩阵的变换。

在下面列出每一次循环体执行之后的增广矩阵。

要求:

  1. 做分数运算
  2. 使用\frac{n}{m}来渲染分数,如下:
    • $\frac{n}{m}$
    • $-\frac{a}{b}$

$ Ab = \begin{bmatrix} 0 & -10 & 9 & 1 \\ -8 & 8 & -6 & 1 \\ 8 & -8 & 6 & 1 \end{bmatrix}$

$ --> \begin{bmatrix} 8 & -8 & 6 & 1\\ 0 & -10 & 9 & 1 \\ -8 & 8 & -6 & 1 \end{bmatrix}$

$ --> \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3/4 & 1/8 \\ 0 & -10 & 9 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

转化方程如下: x-y+3/4z=1/8 -10y+9z=1 0=2

0=2无解,该矩阵为奇异矩阵

$...$

2.3.3 实现 Gaussian Jordan 消元法

In [110]:
# TODO 实现 Gaussain Jordan 方法求解 Ax = b

""" Gaussian Jordan 方法求解 Ax = b.
    参数
        A: 方阵 
        b: 列向量
        decPts: 四舍五入位数,默认为4
        epsilon: 判读是否为0的阈值,默认 1.0e-16
        
    返回列向量 x 使得 Ax = b 
    返回None,如果 A,b 高度不同
    返回None,如果 A 为奇异矩阵
"""

def gj_Solve(A, b, decPts=4, epsilon = 1.0e-16):
    if len(A) != len(b):
        return None
    Ab = augmentMatrix(A, b)

    row, column = shape(Ab)

    for index in range(column - 1):
        r = index
        max_list = []
        r_max_index = []
        
        while(r < row):
            max_list.append(abs(Ab[r][index]))
            r_max_index.append(r)
            r = r + 1
            
        x_max = max(max_list)
        m_index = max_list.index(x_max)
        max_row = r_max_index[m_index]
        
        if x_max < epsilon:
            return None
        elif max_row != index:
            swapRows(Ab, index, max_row)

        scale = 1.0 / Ab[index][index]
        scaleRow(Ab, index, scale)

        j = 0
        while(j < row):
            if j == index:
                j = j + 1
                continue
            num = - Ab[j][index]
            addScaledRow(Ab, j, index, num)
            j = j + 1
    printInMatrixFormat(Ab)
    result_list = []
    for n in range(row):
        result_list.append([round(Ab[n][-1],decPts)])
    print "result_list:" + format(result_list)    
    return result_list
    
In [111]:
# 运行以下代码测试你的 gj_Solve 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_gj_Solve
  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  2.593 
  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  1.904 
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  3.538 
  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.849 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.572 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000 ||  3.105 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000 ||  0.242 
 -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000,  1.000 || -1.626 
result_list:[[2.5928], [1.904], [3.5377], [0.8489], [0.5718], [3.1051], [0.242], [-1.6258]]
  1.000,  0.000,  0.000,  0.000, -0.000 ||  0.145 
  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -0.333 
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000 ||  0.040 
  0.000,  0.000,  0.000,  1.000, -0.000 || -0.138 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000 ||  0.211 
result_list:[[0.1454], [-0.3326], [0.0404], [-0.1378], [0.2113]]
  1.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -0.353 
  0.000,  1.000,  0.000,  0.000 ||  0.205 
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000 ||  0.263 
  0.000,  0.000,  0.000,  1.000 || -0.107 
result_list:[[-0.3527], [0.2054], [0.2634], [-0.1071]]
  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000, -0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.821 
  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000, -0.000, -0.000,  0.000,  0.000 || -0.205 
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.345 
  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -1.045 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000, -0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -1.056 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -0.245 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000, -0.000,  1.000,  0.000,  0.000 ||  1.548 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000, -0.000, -0.000,  1.000,  0.000 ||  3.104 
 -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000,  0.000,  0.000, -0.000,  1.000 || -1.408 
result_list:[[0.821], [-0.2046], [0.3452], [-1.0451], [-1.0556], [-0.2445], [1.5483], [3.1036], [-1.4079]]
  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -2.302 
  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -10.642
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -4.460 
  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -3.226 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000 || -3.259 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000 ||  7.360 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000 ||  8.554 
result_list:[[-2.3019], [-10.6422], [-4.46], [-3.2257], [-3.2592], [7.36], [8.5536]]
  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -1.029 
  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.389 
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.944 
  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.080 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.762 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.623 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000 ||  0.339 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000 ||  0.197 
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result_list:[[0.8147], [-2.0131], [0.2639], [-0.9707], [0.2059], [0.373], [-0.8215], [-0.4108]]
  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  3.246 
  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.709 
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  2.045 
  0.000,  0.000, -0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -0.160 
  0.000,  0.000, -0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -1.247 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  3.932 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000 ||  0.203 
 -0.000, -0.000,  0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000,  1.000,  0.000 || -1.083 
 -0.000, -0.000,  0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000,  1.000 || -0.864 
result_list:[[3.2463], [0.7092], [2.0448], [-0.16], [-1.2466], [3.9324], [0.2032], [-1.0831], [-0.8641]]
  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -2.292 
  0.000,  1.000,  0.000,  0.000, -0.000 ||  1.417 
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000, -0.000 ||  1.533 
  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000 || -2.014 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000 ||  1.145 
result_list:[[-2.2917], [1.4172], [1.5331], [-2.0136], [1.1449]]
  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  1.403 
  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -1.123 
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -1.118 
  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.534 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 || -0.773 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.351 
  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000 ||  0.437 
 -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000,  1.000,  0.000 || -0.900 
 -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000, -0.000,  1.000 ||  0.088 
result_list:[[1.4026], [-1.1226], [-1.1178], [0.5343], [-0.7727], [0.3508], [0.4369], [-0.8996], [0.0883]]
  1.000,  0.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.332 
  0.000,  1.000,  0.000,  0.000,  0.000 ||  0.097 
  0.000,  0.000,  1.000,  0.000,  0.000 ||  0.025 
  0.000,  0.000,  0.000,  1.000,  0.000 || -0.260 
 -0.000, -0.000, -0.000, -0.000,  1.000 ||  0.109 
result_list:[[0.3324], [0.0969], [0.0254], [-0.2604], [0.1092]]
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 6.606s

OK

(选做) 2.4 算法正确判断了奇异矩阵:

在算法的步骤3 中,如果发现某一列对角线和对角线以下所有元素都为0,那么则断定这个矩阵为奇异矩阵。

我们用正式的语言描述这个命题,并证明为真。

证明下面的命题:

如果方阵 A 可以被分为4个部分:

$ A = \begin{bmatrix} I & X \\ Z & Y \\ \end{bmatrix} , \text{其中 I 为单位矩阵,Z 为全0矩阵,Y 的第一列全0}$,

那么A为奇异矩阵。

提示:从多种角度都可以完成证明

  • 考虑矩阵 Y 和 矩阵 A 的秩
  • 考虑矩阵 Y 和 矩阵 A 的行列式
  • 考虑矩阵 A 的某一列是其他列的线性组合

TODO 证明:

3 线性回归

3.1 随机生成样本点

In [112]:
# 不要修改这里!
# 运行一次就够了!
from helper import *
from matplotlib import pyplot as plt
%matplotlib inline

X,Y = generatePoints(seed,num=100)

## 可视化
plt.xlim((-5,5))
plt.xlabel('x',fontsize=18)
plt.ylabel('y',fontsize=18)
plt.scatter(X,Y,c='b')
plt.show()


#np.polyfit(X,Y, 1)

3.2 拟合一条直线

3.2.1 猜测一条直线

In [113]:
#TODO 请选择最适合的直线 y = mx + b
m1 = 2.67205667
b1 = 5.26445104

# 不要修改这里!
plt.xlim((-5,5))
x_vals = plt.axes().get_xlim()
y_vals = [m1*x+b1 for x in x_vals]
plt.plot(x_vals, y_vals, '-', color='r')

plt.xlabel('x',fontsize=18)
plt.ylabel('y',fontsize=18)
plt.scatter(X,Y,c='b')

plt.show()

3.2.2 计算平均平方误差 (MSE)

我们要编程计算所选直线的平均平方误差(MSE), 即数据集中每个点到直线的Y方向距离的平方的平均数,表达式如下: $$ MSE = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(y_i - mx_i - b)^2} $$

In [114]:
# TODO 实现以下函数并输出所选直线的MSE

def calculateMSE(X,Y,m,b):
    if len(X) == len(Y) and len(X) != 0:
        n = len(X)
        sum_list = [(Y[i] - m * X [i] - b) ** 2 for i in range(n)]
        return sum(sum_list) / n
    else:
        raise ValueError
print(calculateMSE(X,Y,m1,b1))
0.960756090862

3.2.3 调整参数 $m, b$ 来获得最小的平方平均误差

你可以调整3.2.1中的参数 $m1,b1$ 让蓝点均匀覆盖在红线周围,然后微调 $m1, b1$ 让MSE最小。

3.3 (选做) 找到参数 $m, b$ 使得平方平均误差最小

这一部分需要简单的微积分知识( $ (x^2)' = 2x $ )。因为这是一个线性代数项目,所以设为选做。

刚刚我们手动调节参数,尝试找到最小的平方平均误差。下面我们要精确得求解 $m, b$ 使得平方平均误差最小。

定义目标函数 $E$ 为 $$ E = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}{(y_i - mx_i - b)^2} $$

因为 $E = \frac{n}{2}MSE$, 所以 $E$ 取到最小值时,$MSE$ 也取到最小值。要找到 $E$ 的最小值,即要找到 $m, b$ 使得 $E$ 相对于 $m$, $E$ 相对于 $b$ 的偏导数等于0.

因此我们要解下面的方程组。

$$ \begin{cases} \displaystyle \frac{\partial E}{\partial m} =0 \\ \\ \displaystyle \frac{\partial E}{\partial b} =0 \\ \end{cases} $$

3.3.1 计算目标函数相对于参数的导数

首先我们计算两个式子左边的值

证明/计算: $$ \frac{\partial E}{\partial m} = \sum_{i=1}^{n}{-x_i(y_i - mx_i - b)} $$

$$ \frac{\partial E}{\partial b} = \sum_{i=1}^{n}{-(y_i - mx_i - b)} $$

TODO 证明:

3.3.2 实例推演

现在我们有了一个二元二次方程组

$$ \begin{cases} \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{-x_i(y_i - mx_i - b)} =0 \\ \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{-(y_i - mx_i - b)} =0 \\ \end{cases} $$

为了加强理解,我们用一个实际例子演练。

我们要用三个点 $(1,1), (2,2), (3,2)$ 来拟合一条直线 y = m*x + b, 请写出

  • 目标函数 $E$,
  • 二元二次方程组,
  • 并求解最优参数 $m, b$

TODO 写出目标函数,方程组和最优参数

3.3.3 将方程组写成矩阵形式

我们的二元二次方程组可以用更简洁的矩阵形式表达,将方程组写成矩阵形式更有利于我们使用 Gaussian Jordan 消元法求解。

请证明 $$ \begin{bmatrix} \frac{\partial E}{\partial m} \\ \frac{\partial E}{\partial b} \end{bmatrix} = X^TXh - X^TY $$

其中向量 $Y$, 矩阵 $X$ 和 向量 $h$ 分别为 : $$ Y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{bmatrix} , X = \begin{bmatrix} x_1 & 1 \\ x_2 & 1\\ ... & ...\\ x_n & 1 \\ \end{bmatrix}, h = \begin{bmatrix} m \\ b \\ \end{bmatrix} $$

TODO 证明:

至此我们知道,通过求解方程 $X^TXh = X^TY$ 来找到最优参数。这个方程十分重要,他有一个名字叫做 Normal Equation,也有直观的几何意义。你可以在 子空间投影投影矩阵与最小二乘 看到更多关于这个方程的内容。

3.4 求解 $X^TXh = X^TY$

在3.3 中,我们知道线性回归问题等价于求解 $X^TXh = X^TY$ (如果你选择不做3.3,就勇敢的相信吧,哈哈)

In [115]:
# TODO 实现线性回归
'''
参数:X, Y 存储着一一对应的横坐标与纵坐标的两个一维数组
返回:m,b 浮点数
'''
def linearRegression(X,Y):
    X = [[x, 1] for x in X]
    Y = [[y] for y in Y]
    XT = transpose(X)
    A = matxMultiply(XT, X)
    b = matxMultiply(XT, Y)
    result_list = gj_Solve(A, b)
    return result_list[0][0], result_list[1][0]

m2,b2 = linearRegression(X,Y)
assert isinstance(m2,float),"m is not a float"
assert isinstance(b2,float),"b is not a float"
print(m2,b2)
  1.000,  0.000 ||  2.672 
  0.000,  1.000 ||  5.264 
result_list:[[2.6721], [5.2645]]
(2.6721, 5.2645)

你求得的回归结果是什么? 请使用运行以下代码将它画出来。

In [116]:
# 请不要修改下面的代码
x1,x2 = -5,5
y1,y2 = x1*m2+b2, x2*m2+b2

plt.xlim((-5,5))
plt.xlabel('x',fontsize=18)
plt.ylabel('y',fontsize=18)
plt.scatter(X,Y,c='b')
plt.plot((x1,x2),(y1,y2),'r')
plt.title('y = {m:.4f}x + {b:.4f}'.format(m=m2,b=b2))
plt.show()

你求得的回归结果对当前数据集的MSE是多少?

In [117]:
print(calculateMSE(X,Y,m2,b2))
0.960756106823
In [ ]: